Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点D在直线AB上，点D的纵坐标为6，点C在x轴上且位于原点右侧，连接CD，且．

如图1，求直线CD的解析式；

如图2，点P在线段AB上点P不与点A，B重合，过点P作轴，交CD于点Q，点E是PQ的中点，设P点的横坐标为t，EQ的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

如图3，在的条件下，以CQ为斜边作等腰直角，且点M在直线CD的右侧，连接OE，OM，当时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）A、D两点在直线y=2x+4上，可依条件建立方程求得坐标，再根据等腰三角形性质求得点C坐标，应用待定系数法求直线CD解析式；

（2）点P在线段AB上，可得P（t，2t+4），根据PQ∥x轴，可得P与Q纵坐标相等，求得Q（-t+2，2t+4），根据E为PQ中点，可得d=EQ=12PQ=-t+1；

（3）过M作SR⊥x轴于R，交PQ延长线于S，利用等腰三角形两腰相等构造全等三角形，在TQ上截取TF=OT，构造等腰Rt△TOF，应用相似三角形判定和性质，建立方程求解．

（1）如图1，

直线y=2x+4经过点A，D，

当y=0时，x=-2，

∴A（-2，0），

当y=6时，x=1，

∴D（1，6），

过点D作DL⊥x轴于点L，

∴L（1，0），

∴AL=3，

∵AD=CD，

∴AL=CL=3，

∴OC=1+3=4，

∴C（4，0），

设直线CD的解析式为y=kx+b，将C（4，0），D（1，6）代入得

，

解得k=-2，b=8，

∴直线CD的解析式为y=-2x+8；

（2）如图2，过点P，Q分别作PF⊥x轴于点F，QG⊥x轴于点G，PQ交y轴于点T，

∵点P在直线y=2x+4上且点P的横坐标为t，

∴点P的坐标为（t，2t+4），

∵PQ∥z轴，

∴∠OTQ=∠AOT=90°，

∴PQ⊥y轴，

∴OT=2t+4，

∴点Q的纵坐标为2t+4，

点Q在直线y=-2x+8上，当y=2t+4时，2t+4=-2x+8，解得x=-2t+2，

∴点Q的坐标为（-t+2，2t+4），

∵∠PFC=∠QGC=90°

∴PF∥QG

又∵PQ∥FG

∴四边形PFGQ为平行四边形

∴PQ=FG=（-t+2）-t=-2t+2

∵E为PQ的中点

∴EP=EQ=PQ=（-2t+2）=-t+1

∴d=-t+1 （-1<t<0）；

（3）如图3，过点M作x轴的垂线，垂足为R，交PQ的延长线于点S，

∵∠CMQ=90°，CM=MQ

∴∠QCM=45°

在△OCM中，∠COM+∠OMC+∠OCM=180°

∴（90°-∠BCE-∠ECM）+（90°-∠OMQ）+（∠ACD+45°）=180°

又∵∠BOE+∠OMQ=∠ACD

∴∠EOM=45°

令CR=m，

∵∠OTS=∠TOR=∠ORS=90°

∴四边形ORST是矩形

∴RS=OT=2t+4，TS=OR=m+4

∴QS=m+4-（-t+2）=m+t+2

∵CM=QM，∠CRM=∠MSQ=90°，∠MCR=90°-∠CMR=∠QMS

∴△QMS≌△MCR

∴MS=CR=m，MR=QS=m+t+2

∵MS+MR=RS

∴m+m+t+2=2t+4

∴m=t+1

∴MR=t+3，OR=t+5

在TQ上截取TF=OT=2t+4，连接OF，过点E作EH⊥OF于点H，

则∠COF=∠TFO=45°，OF=OT=（2t+4），EF=FT-ET=2t+4-（-t+1+t）=2t+3，EH=FH=EF=（2t+3），

∴OH=OF-FH=（2t+4）-（2t+3）=（2t+5），

∵∠MOR=45°-∠FOM=∠EOH

∴tan∠MOR=tan∠EOH

在Rt△MOR中，tan∠MOR=，在Rt△OEH中，tan∠EOH=，

∴

∴MROH=OREH

∴

解得（舍去）

∴

过点M作MK⊥y轴于点K，可证四边形ORMK是矩形

∴

∴点M的坐标为．