Question

3．如图，二次函数y=-x²+5x+n的图象经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P是坐标轴的正半轴上的点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①PB=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；
②PA=AB，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+5x+n经过点A（1，0）
∴n=-4
∴y=-x²+5x-4；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²+5x-4，
∴令x=0，则y=-4，
∴B点坐标（0，-4），AB=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
①当PB=AB时，PB=AB=$\sqrt{17}$，
∴OP=PB-OB=$\sqrt{17}$-4．
∴P（0，$\sqrt{17}$-4）
②当PA=AB时，P、B关于x轴对称，
∴P（0，4）
因此P点的坐标为（0，$\sqrt{17}$-4）或（0，4）．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的构成等知识点，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．