Question

【题目】四边形是的内接四边形，，，垂足为．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，点在的延长线上，且，连接、，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，证出∠ACB＝90°∠CBD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝90°∠CBD，得出∠BAC＝180°2∠ABC＝2∠CBD，即可得出结论；

（2）由等腰三角形的性质得出∠FCD＝∠CFD，证出∠CFD＝∠CAD，进而得出∠CFD＝∠CBD，即可得出结论；

（3）证出AB＝AF＝AC＝10设AE＝x，CE＝10x，由勾股定理得出AB2AE2＝BC2CE2，得出102x2＝（4）2（10x）2，求出AE＝6，CE＝4，由勾股定理得出BE＝8，由三角函数定义得出，求出DE＝3，由勾股定理得出AD＝3，过点D作DH⊥AB，垂足为H，由面积法求出DH＝，由三角函数定义即可得出答案．

（1）证明：如图1，

∵弧弧

∴

∵，

∴，

∴

∵，∴，

∴

∴

（2）证明：如图2，∵

∴

∴

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

（3）解：如图3，∵，，

∴，∴垂直平分，

∴

设，，

在中，

在中，，

∴，∵

∴，解得

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∴

在中，

∴

过点作，垂足为

∴

∴

在中，

∴．