Question

【题目】如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转60°得到，连接、、．

（1）求证；

（2）①当点在何处时，的值最小；

②当点在何处时，的值最小，并说明理由；

（3）当的最小值为时，求正方形的边长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．理由见解析；（3）．

【解析】

（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；
（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为．

（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
∴∠BCM=∠BEN，
∵EB=CB，
∴若连接EC，则∠BEC=∠BCE，
∵∠BCM=∠BCE，∠BEN=∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF=x，EF= ．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（）2+（x+x）2=(+1)2．
解得x1=，x2=-（舍去负值）．
∴正方形的边长为．