Question

18．已知：如图，AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD到E，使DE=AD．
（1）求证：AB=EC；
（2）试说明AB+AC＞2AD的理由；
（3）当AB=6，AC=4时，中线AD的取值范围为1＜AD＜5．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=EC；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边可得EC+AC＞AE，然后等量代换即可得证；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，再除以2即可．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=AD}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC；

（2）解：由三角形的三边关系得，EC+AC＞AE，
∵DE=AD，
∴AE=2AD，
又∵AB=EC，
∴AB+AC＞2AD；

（3）解：∵AB=6，
∴EC=6，
又∵AC=4，
∴6-4＜AE＜6+4，
即2＜AE＜10，
∵AE=2AD，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，本题“遇中线加倍延”的思想要掌握．