Question

19．在正方形ABCD中，AD=4．点E是线段AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使点B落在点F处，对角线BD与CF，CE分别相交于点M，N，则MN的长是$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 先构造出直角三角形，利用三角函数求出BG=NE=$\frac{4}{3}$，CN=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，进而求出BN，再构造出等腰三角形，求出NH=CH=$\frac{5}{3}$，最后用平行线分线段成比例即可求出MN．

解答 解：如图，
过点N作NG⊥BC，
∵点E是正方形的边AB中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△CGN中，tan∠BCE=$\frac{NG}{CG}$，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD=45°，
∴NG=BG，CG=BC-BG=4-BG，
∴$\frac{BG}{4-BG}=\frac{1}{2}$，
∴NG=BG=$\frac{4}{3}$，
∴CG=$\frac{8}{3}$，
在Rt△CGN中，CN=$\sqrt{C{G}^{2}+N{G}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
在Rt△BNG中，BN=$\sqrt{2}$BG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
过点N作NH∥BC，过点H作HP⊥CE，
由折叠得，∠BCE=∠FCE，
∴NH=CH，PN=PC=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵tan∠PCH=$\frac{PH}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
根据勾股定理得，NH=CH=$\sqrt{P{H}^{2}+P{C}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∵NH∥BC，
∴$\frac{MN}{BM}=\frac{NH}{BC}$，
∴$\frac{MN}{BN+MN}=\frac{NH}{BC}$，
∴$\frac{MN}{\frac{4\sqrt{2}}{3}+MN}=\frac{\frac{5}{3}}{4}$
∴MN=$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．

点评 此题是折叠问题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，解本题的关键是构造在出等腰三角形，注意：图形中有角平分线和平行线出现，易出现等腰三角形．