Question

（1）在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线交于点P，如图1，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明；
（2）在△ABC中，一个外角∠ACE的角平分线和一个内角∠ABC的角平分线交于点P，如图2，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明；
（3）在△ABC中，两个外角∠EBC的角平分线和∠FCB的角平分线交于点P，如图3，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明．

Answer 1

考点：三角形的外角性质,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，再根据角平分线的定义可得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，然后整理即可得证；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵点P为角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△PBC中，∠P=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵外角∠ACE的角平分线和内角∠ABC的角平分线交于点P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠P+

1

2

∠ABC，
∴∠P=

1

2

∠A；

（3）∵外角∠EBC的角平分线和∠FCB的角平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB）=

1

2

∠A+90°，
在△PBC中，∠P=180°-（

1

2

∠A+90°）=90°-

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，要注意整体思想的利用．