Question

13．两个反比例函数y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{k}{x}$（k＞2）在第一象限的图象如图所示，第一象限中的点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，PC、PD分别交y=$\frac{2}{x}$的图象于点A，B．
（1）若点P的坐标为（3，4），求k的值；
（2）设点A的横坐标为m，连接CD，AB，若BP=$\frac{2}{3}$DP，CD=$\sqrt{13}$，求AB的长度；
（3）在（2）的条件下，若在x轴、y轴上分别存在点M、点N，使四边形MABN是平行四边形，猜想∠AMC与∠NMO的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）直接代入点P坐标即可得出结论；
（2）先表示A，B，C，D，P的坐标，进而表示出BP，DP，CD，建立方程求出m，k即可求出AB的长度；
（3）分m=2和m=3两种情况讨论计算：①m=2时，先确定出A，B坐标，进而得出直线AB解析式，进而设出MN的解析式，用平行四边形的性质AB=MN建立方程，求出直线MN解析式，即可得出AC，CM，ON．OM，用锐角三角函数判断出结论，②同①的方法即可．

解答 解：（1）∵P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，点P的坐标为（3，4），
∴k=3×4=12
（2）∵点A的横坐标为m，
∴A（m，$\frac{2}{m}$），
∴C（m，0），P（m，$\frac{k}{m}$），
∴B（$\frac{2m}{k}$，$\frac{k}{m}$），D（0，$\frac{k}{m}$）
∴BP=m-$\frac{2m}{k}$，PD=m，CD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{k}{m}）^{2}}$
∵BP=$\frac{2}{3}$DP，
∴m-$\frac{2m}{k}$=$\frac{2}{3}$m，
∴k=6，
∴CD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{6}{m}}）^{2}$，
∵CD=$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{6}{m}}）^{2}$=$\sqrt{13}$，
∴m=±2或m=±3，
∵第一象限中的点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，
∴m=2或m=3，
当m=2时，A（2，1），B（$\frac{2}{3}$，3），
∴AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
当m=3时，A（3，$\frac{2}{3}$），B（1，2），
∴AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
即：AB的长度为$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（3）∠AMC=∠NMO
如图，

理由：由（2）知，AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
①当m=2时，A（2，1），B（$\frac{2}{3}$，3），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+4，
∵四边形MABN是平行四边形，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴设直线MN的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+b，
∴M（$\frac{2b}{3}$，0），N（0，b），
∴MN=$\sqrt{（\frac{2b}{3}）^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$|b|，
∴$\frac{\sqrt{13}}{3}$|b|=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴b=±2，
∵四边形MABN是平行四边形，
∴b=2，
MN解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+2，
∴M（$\frac{4}{3}$，0），N（0，2），
∴CM=$\frac{2}{3}$，AC=1，NO=2，OM=$\frac{4}{3}$，
∵C（2，0）
∴OC=2
∵tan∠AMC=$\frac{AC}{MC}$=$\frac{1}{2-\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$，tan∠NMO=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠AMC=tan∠NMO，
∵∠AMC，∠NMO是锐角，
∴∠AMC=∠NMO，
②当m=3时，A（3，$\frac{2}{3}$），B（1，2），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∵四边形MABN是平行四边形，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴设直线MN的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+b'，
∴M（$\frac{3}{2}$b'，0），N（0，b'），
∴MN=$\sqrt{（\frac{3}{2}b'）^{2}+b{'}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$|b'|，
∴$\frac{\sqrt{13}}{2}$|b'|=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴b'=±$\frac{4}{3}$，
∵四边形MABN是平行四边形，
∴b'=$\frac{4}{3}$
MN解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴N（0，$\frac{4}{3}$），M（2，0），
∴AC=$\frac{2}{3}$，CM=1，OM=2，ON=$\frac{4}{3}$，
∵C（3，0），
∴OC=3
∵tan∠AMC=$\frac{AC}{MC}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1}$=$\frac{2}{3}$，tan∠NMO=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠AMC=tan∠NMO，
∵∠AMC，∠NMO是锐角，
∴∠AMC=∠NMO．
即：∠AMC=∠NMO．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系内，两点间的距离公式，平行四边形的性质，锐角三角函数，解本题的关键是用方程的思想解决问题，是一道比较简单的中考常考题．