Question

7．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）连接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求AE的长；
（3）若AB=10，AC=8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为5π．

Answer 1

分析 （1）只要证明△OEC≌△OEA，得∠OAE=∠OCE=90°，即可证明．
（2）设OD=a，则DE=3a，由△OAD∽△OEA，得$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．

∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴EA=EC，
在△OEC和△OEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{OC=OA}\\{EA=EC}\end{array}\right.$，
∴△OEC≌△OEA，
∴∠OAE=∠OCE，
∵EC是⊙O切线，
∴EC⊥OC，
∴∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．

（2）如图1中，设OD=a，则DE=3a，
∵∠AOD=∠AOE，∠ODA=∠OAE，
∴△OAD∽△OEA，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴4a²=81，
∵a＞0，
∴a=$\frac{9}{2}$，
∴OE=18，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$．

（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．


∵AM=MF，
∴OM⊥AF，
∵AO′=OO′，OA=OB=5，
∴O′M=$\frac{1}{2}$OA=定长=$\frac{5}{2}$，
∴当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心$\frac{5}{2}$为半径的圆，
∴点M运动的路径长为2π•$\frac{5}{2}$=5π．
故答案为5π．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．