Question

如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁＝2，⊙O₂的半径r₂＝．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．

(1)求证：；

(2)若PQ＝2，试求∠E度数．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)证明：∵⊙O1的半径r1＝2，⊙O2的半径r2＝， 　　∴PC＝4，PD＝2， 　　∵CD⊥PQ， 　　∴∠PQC＝∠PQD＝90°， 　　∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径， 　　在⊙O1中，∠PAB＝∠PCD， 　　在⊙O2中，∠PBA＝∠PDC， 　　∴△PAB∽△PCD， 　　∴＝＝＝， 　　即＝． 　　(2)答：∠E的度数是75°． 　　解：在Rt△PCQ中，∵PC＝2r1＝4，PQ＝2， 　　∴cos∠CPQ＝， 　　∴∠CPQ＝60°， 　　∵在Rt△PDQ中，PD＝2r2＝2，PQ＝2， 　　∴sin∠PDQ＝， 　　∴∠PDQ＝45°， 　　∴∠CAQ＝∠CPQ＝60°，∠PBQ＝∠PDQ＝45°， 　　又∵PD是⊙O2的直径， 　　∴∠PBD＝90°， 　　∴∠ABE＝90°－∠PBQ＝45° 　　在△EAB中，∴∠E＝180°－∠CAQ－∠ABE＝75°

提示：

相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．