Question

3．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，3），B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁．
（1）画出△A₁OB₁，直接写出点B₁关于点O的对称点B₂的坐标；
（2）请直接写出：以A、B、O、C为顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；
（3）请直接写出：在旋转过程中，点B经过的路径的长；
（4）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A₁、B₁，即可得到△A₁OB₁，再利用根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点B₁关于点O的对称点B₂的坐标；
（2）分类讨论：分别OA、AB、OB为平行四边形的对角线画出平行四边形，然后写出C点坐标；
（3）利用弧长公式计算；
（4）根据扇形面积公式，利用线段AB所扫过的面积=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB进行计算即可．

解答 解：（1）如图，△A₁OB₁为所作，点B₁关于点O的对称点B₂的坐标为（2，-1）；

（2）如图，以A、B、O、C为顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标为（2，1）或（4，5）或（-2，-1）；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径的长=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π；
（4）在旋转过程中，线段AB所扫过的面积=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB=$\frac{90•π•（3\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{13}{4}$π．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．利用分类讨论的思想解决（3）小题，利用面积的和差解决（4）小题．