Question

如图，在平面平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交x轴于点A，交y轴与点B，点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．
（1）填空：线段OA的长为

 

；线段OB的长为

 

；
（2）求点C的坐标；
（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量与函数值的关系，函数值为零时，可得相应自变量的值；自变量为零时，可得相应的函数值；
（2）根据线段中点公式：线段两端点的横坐标的平均数是中点的横坐标，线段两端点的纵坐标的平均数是中点的纵坐标，可得答案；
（3）分类讨论：①当PO=PB时，②当PO=OB时，③当PB=OB时，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）当y=0时，-2x+4=0．解得x=2，即OA=2．
当x=0时，y=4，即OB=4，
故答案为：2，4；
（2）A（2，0），B（0，4），由中点坐标，得C点的横坐标为

2+0

2

=1，纵坐标为

0+4

2

=2，
即C（1，2）；
（3）存在这样的点P，使△POB为等腰三角形，理由如下：
设P（1，a），
①当PO=PB时，平方，得PO²=PB²，即1+a²=1²+（a-4）²，
化简，得8a=16．解得a=2，即P₁（1，2）；
②当PO=OB时，平方，得PO²=OB²，即1+a²=4²，
解得a=±

15

，即P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；
③当PB=OB时，平方，得
PB²=OB²，即1+（a-4）²=4²，解得a=4±

15

，即P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

），
综上所述：存在这样的点P，使△POB为等腰三角形，P₁（1，2）；P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

）．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系，（2）利用了线段中点公式：线段两端点的横坐标的平均数是中点的横坐标，线段两端点的纵坐标的平均数是中点的纵坐标；（3）分类讨论是解题关键．