如图.在平面直角坐标系中.有抛物线y=a(x-h)2．抛物线y=a(x-3)2+4经过原点.与x轴正半轴交于点A.与其对称轴交于点B.P是抛物线y=a(x-3)2+4上一点.且在x轴上方.过点P作x轴的垂线交抛物线y=a(x-h)2于点Q.过点Q作PQ的垂线交抛物线y=a(x-h)2于点Q′.连结PQ′.设点P的横坐标为m．(1)求a的值,2经过原点时.设△PQQ′与△OAB重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（x-h）²．抛物线y=a（x-3）²+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y=a（x-3）²+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=a（x-h）²于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=a（x-h）²于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．
（1）求a的值；
（2）当抛物线y=a（x-h）²经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l．
①求$\frac{PQ}{QQ′}$的值；
②求l与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．

分析（1）把（0，0）代入y=a（x-3）²+4即可解决问题．
（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题．
②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决．
（3），①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ′是等腰梯形．②当四边形OQ′₁Q₁A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=a（x-3）²+4经过原点，
∴x=0时，y=0，
∴9a+4=0，
∴a=-$\frac{4}{9}$．
（2）∵抛物线y=a（x-h）²经过原点时，
∴h=0，∵a=-$\frac{4}{9}$，
∴y=-$\frac{4}{9}$x²．
①∵P（m，-$\frac{4}{9}{m}^{2}$+$\frac{8}{3}$m），Q（m，-$\frac{4}{9}{m}^{2}$），
∴PQ=-$\frac{4}{9}{m}^{2}$+$\frac{8}{3}$m-（-$\frac{4}{9}{m}^{2}$）=$\frac{8}{3}$m，QQ′=2m，
∴$\frac{PQ}{QQ′}$=$\frac{\frac{8}{3}m}{2m}$=$\frac{4}{3}$．
②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，
∵$\frac{PQ}{QQ′}$=$\frac{BM}{OM}$，∠PQQ′=∠BMO=90°，
∴△PQQ′∽△BMO，
∴∠QPQ′=∠OBM，
∵EF∥BM，
∴∠OEF=∠OBM，
∴∠OEF=∠QPQ′，
∴OE∥PQ′，
∵$\frac{EF}{BM}$=$\frac{OF}{OM}$，
∴EF=$\frac{4}{3}m$，OE=$\frac{5}{3}m$，
∴l=OF+EF+OE=m+$\frac{4}{3}m$+$\frac{5}{3}$m=4m，
当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．
∵AF=6-m，tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{4}{3}$，
∴EF=$\frac{4}{3}$（6-m），AE=$\frac{5}{3}（6-m）$，
∵tan∠PGF=$\frac{PF}{FG}$=$\frac{4}{3}$，PF=-$\frac{4}{9}{m}^{2}$+$\frac{8}{3}m$，
∴GF=-$\frac{1}{3}$m²+2m，
∴AG=-$\frac{1}{3}$m²+m+6，
∴GM=AM=-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{1}{2}$m+3，
∵HG=HA=$\frac{AM}{cos∠HAG}$=-$\frac{5}{18}$m²+$\frac{5}{6}$m+5，
∴l=GH+EH+EF+FG=-$\frac{8}{9}$m²+4m+8．
综上所述l=$\left\{\begin{array}{l}{4m}&{（0＜m≤3）}\\{-\frac{8}{9}{m}^{2}+4m+8}&{（3＜m＜6）}\end{array}\right.$，
（3）如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，
∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称，
∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，
∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形．
②当四边形OQ′₁Q₁A是菱形时，OQ′₁=OA=Q₁=Q′₁=6，
当顶点在原点时，Q₁点横坐标为3，将x=3代入
y=-$\frac{4}{9}$x²，得 y=4，由于是平移，Q点纵坐标不变，
∴点Q₁的纵坐标为4，
在RT△OHQ′₁，中，OH=4，OQ′₁=6，
∴HQ′₁=2$\sqrt{5}$，
∴h=3-2$\sqrt{5}$或3+2$\sqrt{5}$，
综上所述h=3或3-2$\sqrt{5}$或3+2$\sqrt{5}$时点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形．