Question

【题目】⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.

⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.

①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；

⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3） .

【解析】

（1）利用AAS证明可得AC=BE；

（2）①先证明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性质可得；

②根据∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而求出相应的线段长度，得到tan∠CDB的值．

（3）根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，则.

（1）证明：如图1，

，

又，

又

（2）①证明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，
∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，
∴∠ADC=∠ECB，
∵∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE，

②如图2，

∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABD，

AB=AC+BC=

∴

解得AD=5，

设∠DBA=∠CDA=α，
∴∠CDG=90-2α，
∴∠CGD=2α，
∴∠GCB=∠GBC=α，
∴CG=GB，
设CG=GB=x，

解得

（3）如图3，

∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ADB，

解得AD=5，
∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，
∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，
以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，
∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，
∵∠B=∠ADC，
∴∠BEH=∠ACD，
∴△BEH∽△ADC，

故答案为：