题目内容

观察下列等式：
① $数学公式$ ；
② $数学公式$ ；
③ $数学公式$ ；
④ $数学公式$ ；
…
（1）猜想并写出第n个算式：；
（2）请说明你写出的等式的正确性；
（3）把上述n个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程． $数学公式$ =；
（4）我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数 $数学公式$ 表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）

解：（1） $\text{[math]}$ ；

（2）左边= $\text{[math]}$ =右边，
即 $\text{[math]}$ ．

（3） $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$

（4） $\text{[math]}$
分析：从数字上很容易的猜得第n个算式，已知题目中各式相加得到（3），第（4）按照第（3）个得到．
点评：本题规律在于从公式到验证，每一步相加即能消去，便得到（3）．

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观察下列等式：

将以上等式相加得到

．
用上述方法计算：

其结果为（　　）

2、观察下列等式：2=2=1×2；2+4=6=2×3；2+4+6=12=3×4；2+4+6+8=20=4×5；…
（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是

；
（2）当n=10时，从2开始到第10个连续偶数的和是

观察下列等式：

，…用自然数n将上面式子的一般规律表示为

观察下列等式，找出规律然后空格处填上具体的数字．1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²，1+3+5+7+9+11=

．
（1）第5个式子等号右边应填的数是

．
（2）根据规律填空1+3+5+7+9+…+99=

观察下列等式：
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
…
则1+3+5+…+15=

²
并请你将想到的规律用含有n（n是正整数）的等式来表示就是：

1+3+5+7+…+（2n-1）=n²

1+3+5+7+…+（2n-1）=n²