Question

20．如图1，点A是以BC为直径的半圆O上一动点（不与B，C重合），连接BA并延长到D，使AD=$\frac{1}{2}$AB，连接CA并延长到E，使AE=$\frac{1}{2}$AC．BE和CD的延长线交于点P．设PB=2m，PC=2n，BC=2p，$\frac{AB}{AC}$=k．
（1）若k=1，p=4，则m=2$\sqrt{10}$，n=2$\sqrt{10}$；若k=$\sqrt{3}$，p=4，则m=2$\sqrt{13}$，n=2$\sqrt{7}$．
（2）观察（1）中的结果，猜想当点A运动时，m，n，p三者满足的等量关系，并给予证明．
（3）如图2，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别是边AD，BC，DC的中点，BE⊥EG．AD=2$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长（直接写出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，推出DE∥BC，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，得到DE是△PBC的中位线，推出△ABC与△ADE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4$\sqrt{2}$AD=AE=2$\sqrt{2}$，勾股定理得到BE=CD=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，求得PB=PC=4$\sqrt{10}$，即可得到结论；
（2）设AC=2k，则AB=2kx，从而AE=x，AD=kx，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由四边形ABCD是平行四边形，得到∠BAE=∠BCG，∠ABC=∠EDG，根据勾股定理得到BE²+EG²=BG²①，由余弦定理得到BE²=14-6$\sqrt{5}$sos∠BAE②，GE²=5+$\frac{9}{4}$-3$\sqrt{5}$cos∠EDG③，BG²=40+_$\frac{9}{4}$-6$\sqrt{5}$cos∠BCG④，把②，③，④代入①，并化简可得cos∠EDG=-$\frac{\sqrt{5}}{15}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE∥BC，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE是△PBC的中位线，
∵k=1，p=4，
∴AB=AC，BC=8，
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC与△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4$\sqrt{2}$AD=AE=2$\sqrt{2}$，
∴BE=CD=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴PB=PC=4$\sqrt{10}$，
∴m=2$\sqrt{10}$，n=2$\sqrt{10}$，
若k=$\sqrt{3}$，p=4，同理m=2$\sqrt{13}$，n=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{13}$，n=2$\sqrt{7}$；

（2）5p²=n²+m²，证明过程如下：
设AC=2k，则AB=2kx，
从而AE=x，AD=kx，
由∠BAC=90°可得：x²+（2kx）²=m²，x²+（kx）²=p²，（kx）²+（2x）²=n²，∴5p²=n²+m²；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠BCG，∠ABC=∠EDG，
∵BE⊥EG，
∴BE²+EG²=BG²①，
由余弦定理得：BE²=AE²+AB²-2AE•ABcon∠BAE=$（\sqrt{5}）^{2}+{3}^{2}-2×3\sqrt{5}cos∠BAE$=14-6$\sqrt{5}$sos∠BAE②，
GE²=ED²+DG²-2ED•DGcos∠EDG=（$\sqrt{5}$）²+（$\frac{3}{2}$）²-2×$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$cos∠EDG=5+$\frac{9}{4}$-3$\sqrt{5}$cos∠EDG③，
BG²=BC²+CG²-2BC•CGcos∠BCG=（2$\sqrt{5}$）²+（$\frac{3}{2}$）²-2×$\frac{3}{2}$×2$\sqrt{5}$cos∠BCG=40+_$\frac{9}{4}$-6$\sqrt{5}$cos∠BCG④，
把②，③，④代入①，并化简得：cos∠EDG=-$\frac{\sqrt{5}}{15}$，
∴AF²=AB²+BF²-2AB•BFcos∠EDG=3²+（$\sqrt{5}$）²-2×3$\sqrt{5}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{15}$）=16，
∴AF=4．

点评 本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，余弦定理，熟练掌握圆周角定理和余弦定理是解决问题的关键．