Question

16．问题：你能比较两个数2006²⁰⁰⁷和2007²⁰⁰⁶的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小（n为正整数），从分析n=1，n=2，n=3，…的情形入手，通过归纳，发现规律，猜想出结论．
（1）比较各组数的大小①1²＜2¹；    ②2³＜3²；  ③3⁴＞4³；   ④4⁵＞5⁴
（2）由（1）猜想出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞2的整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由（2）可知：2006²⁰⁰⁷＞ 2007²⁰⁰⁶．

Answer 1

分析 （1）根据乘方的意义分别计算后进行判断大小；
（2）（3）根据（1）中的计算结果可归纳出当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞2的整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

解答 解：（1）1²＜2¹；　②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴…
（2）当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞2的整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．
故答案为＜，＜，＞，＞，＞；当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞2的整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；＞．

点评 本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．