Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DE∥AB，CF⊥DE于F，AC=6，CF=4，G是AE中点．
（1）如图1，直接写出FG、BE的数量关系和位置关系为FG=$\frac{1}{2}$BE，FG⊥BE；
（2）如图2，将△CFE绕点C逆时针旋转90°，点G是AE中点，连GF、BE，求证：GF⊥BE；
（3）将△CFE绕点C旋转，在旋转过程中，线段GF的取值范围是3-2$\sqrt{2}$≤FG≤$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先判断出点F是DE中点，进而得出FG是△ADE的中位线，即：FG∥AD，FG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BE，即可得出结论；
（2）先判断出，△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，即可求出∴∠BAD+∠ABE=∠ABC+∠BAC=90°，进而得出结论；
（3）先判断出AD的最大值和最小值，进而得出AD的范围，即可得出FG的范围．

解答 解：（1）FG=$\frac{1}{2}$BE，FG⊥BE，
理由：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠BAC=45°，∠CED=∠ABC=45°，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴AD=BE，
在Rt△CDE中，CF⊥DE，
∴DE=2CF=8，DF=EF，
∵点G是AE中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG∥AD，FG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴FG⊥BC，
即：FG=$\frac{1}{2}$BE，FG⊥BE，
故答案为FG=$\frac{1}{2}$BE，FG⊥BE．

（2）如图2，连接AD，由（1）知，DF=EF，
∵点G是AE中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG∥AD，FG=$\frac{1}{2}$AD，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AD⊥BE，
∵FG∥AD，
∴FG⊥BE；
（3）由（2）知，FG=$\frac{1}{2}$AD，
在Rt△CDE中，CD=$\frac{1}{\sqrt{2}}$DE=4$\sqrt{2}$，
由旋转得，点D在边AC上时，AD最小，最小值为AC-CD=6-4$\sqrt{2}$，
∴FG最小=$\frac{1}{2}$AD最小=3-2$\sqrt{2}$，
当点D在AC延长线时，AD最大，最大值为AC+CD=6+4$\sqrt{2}$，
∴FG最大=$\frac{1}{2}$AD最大=3+2$\sqrt{2}$，
∴3-2$\sqrt{2}$≤FG≤3+2$\sqrt{2}$，
故答案为3-2$\sqrt{2}$≤FG≤3+2$\sqrt{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，三角形的中位线，解本题的关键是判断出FG是△ADE的中位线．是一道中等难度的中考常考题．