Question

19．如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）点P由B出发沿BC方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，点Q由D出发沿DA方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒（0＜t≤3），是否存在某一时刻；使△AOP与△QAO相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程得出OA=4，OB=3，再用勾股定理即求出AB，最后用三角函数的定义即可得出结论；
（2）分点P在OB和OC上两种情况，当点P在OB上时①分△AOP∽△OAQ和△AOP∽△QAO，用比例式建立方程求解即可；当点P在OC上时，同点P在OB上的方法即可得出结论．

解答 解：（1）由方程x²-7x+12=0解得，x=4，或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABC=$\frac{OB}{AB}=\frac{3}{5}$，
（2）如图，由题意得，BP=2t，AQ=6-t，
当点P在OB上时，0＜t＜1.5，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①当$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$时，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{3-2t}{3}=\frac{4}{6-t}$，
∴t=$\frac{15+\sqrt{209}}{4}$（舍）或t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$，
②当$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$时，△AOP∽△QAO，
∴3-2t=6-t，
∴t=-3（舍），
当点P在OC上时，1.5≤t≤3，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①当$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{2t-3}{4}=\frac{4}{6-t}$此时方程无实数解，
②当$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$，
∴2t-3=6-t，
∴t=3，
综上可得当t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$或t=3时，△AOP与△QAO相似

点评 此题是相似形综合题，主要考查了一元二次方程的解法，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的性质等知识点；利用分类讨论的思想方法是解答本题的要点；