Question

【题目】如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；

（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）(2，0)或(2+2，0)或(2﹣2，0)；（3）P(2，3)，PE最大值为．

【解析】

（1）根据直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C可求出B、C两点坐标，代入y＝-x2+bx+c可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可得答案；

（2）根据PQ⊥x轴，直线y＝﹣x+2于点D，点P的横坐标为m可用m表示出D、Q两点坐标，根据平行四边形的性质可得OC=PD=2，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案；

（3）利用勾股定理可求出BC的长，根据平行线的性质可得∠OCB＝∠PDE，可证明△PED∽△BOC，根据相似三角形的性质可用m表示出PE的长，根据二次函数的性质即可得答案．

（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，

∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）．

∵抛物线y＝-x2+bx+c经过B、C两点，

∴，

解得，

∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2．

（2）∵P点在抛物线上，横坐标为m，

∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），

∵PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．

∴Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），

当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，

∴|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，

当﹣m2+2m＝2时，

解得：m＝2，

∴Q坐标为（2，0），

当﹣m2+2m＝﹣2时，

解得：m＝2±2，

∴Q坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0），

综上可知：Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）．

（3）由（2）可知P点坐标为（m，﹣m2+m+2），Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），

∴PD＝﹣m2+2m．

在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，

∴BC＝=2，

∵PQ∥OC，

∴∠OCB＝∠PDE．

∵PE⊥BC，

∴∠PED＝∠COB＝90°．

∴△PED∽△BOC．

∴，

即，

解得PE＝，

∵P在直线BC上方，

∴0＜m＜4，

∴当m＝2时 PE有最大值，

当m＝2时，﹣m2+m+2=3，

∴此时P点坐标为（2，3）．