Question

【题目】如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、．

【解析】

（1）将点B的坐标为代入，，B的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式；

（2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．，此时最小；

（3）作轴于点H，连接、、、、，由，，可得，因为，，所以，可知外接圆的圆心为H，于是设，则，或，求得符合题意的点Q的坐标：、．

解：（1）将点B的坐标为代入，

，

∴B的坐标为，

将，代入，

解得，，

∴抛物线的解析式；

（2）设，则，

，

∴当时，有最大值为2，

此时，

作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．

，此时最小，

∵，

∴，

，

即的最小值为；

（3）作轴于点H，连接、、、、，

∵抛物线的解析式，

∴，

∵，

∴，

∵，

，

∴，

可知外接圆的圆心为H，

∴

设，

则，

或

∴符合题意的点Q的坐标：、．