Question

17．已知∠ACD=90°，MN是过A点的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，连接BC．
（1）如图1，将△BCD绕点C逆时针方向旋转90°得到△ECA．
①求证：点E在直线MN上；
②猜想线段AB、BD、CB满足怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（2）当MN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段AB、BD、CB又满足怎样的数列关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋转的性质得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出结论；
②证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出BE=$\sqrt{2}$BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥CB与MN交于点E，则∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，证出∠CAE=∠CDB，由ASA证明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出EB=$\sqrt{2}$BC，即可得出结论．

解答 （1）①证明：∵DB⊥MN，
∴∠ABD=90°，在四边形ACDB中，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
由旋转的性质得：△ECA≌△BCD，
∴∠EAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠EAC=180°，
∴点E在直线MN上；
②解：AB+BD=$\sqrt{2}$BC，理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$BC，
∵BE=AE+AB，
由①知AE=BD，
∴AB+BD=$\sqrt{2}$BC；
（2）解：AB-BD=$\sqrt{2}$BC，理由如下：
过点C作CE⊥CB与MN交于点E，如图2所示：
则∠ECB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∵DB⊥AB，
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DCB}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\\{∠CAE=∠CDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，EC=BC，
∴EB=AB-AE=AB-DB，△ECB为等腰直角三角形，
∴EB=$\sqrt{2}$BC，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$BC．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四边形内角和定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．