Question

16．如图1，已知△ABC与△CDE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，且∠ACB=∠DCE，连接AE、BD．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）如图2，若DC⊥EC，试判断直线AE与直线BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证出∠BCD=∠ACE，由SAS证明△BCD≌△ACE即可；
（2）延长BD交AE于M，交AC于N，由全等三角形的性质得出∠CBD=∠CAE，由直角三角形的性质和对顶角相等证出∠CAE+∠ANM=90°，由三角形内角和定理得出∠AMN=90°即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：直线AE⊥直线BD；理由如下：
延长BD交AE于M，交AC于N，如图所示：
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵DC⊥EC，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BNC=90°，
∵∠BNC=∠ANM，
∴∠CAE+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°，
∴AE⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质、等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．