Question

已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若D为⊙O上一点，∠ACD=45°，AD=2，求扇形OAC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）相切．由于A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB，由此得到△OAC是等边三角形，接着利用等边三角形的性质可以证明∠OCA=∠OAC=2∠B=60°，由此即可证明直线AB与⊙O相切；
（2）过O作OE⊥AD于E，利用垂径定理和勾股定理可以求出半径，然后利用扇形的面积公式即可求出扇形OAC的面积．
解答：解：（1）相切．
理由：∵A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB，
∴OA=OC=AC=CB，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=2∠B=2∠CAB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°，
即OA⊥AB，而A是半径OA的外端，
∴直线AB与⊙O相切；

（2）连接OD，过O作OE⊥AD于E，
∴AE=AD=，
∵∠ACD=45°，
∴∠EOA=45°，
∴AO=2，
根据（1）知道∠OAC=60°
S_扇形OAC==π．
点评：此题分别考查了切线的性质与判定及扇形的面积的计算，首先利用等边三角形的判定与性质得到∠OAB=90°，然后利用切线的判定证明切线，最后利用扇形的面积公式计算即可解决问题．