Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（2，3）；（2）△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）；（3）或1．

【解析】

试题分析：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；

（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；

（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可证，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值，注意另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．

试题解析：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．

联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．

如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=，

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

当x=时，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴，即：，

解得：k=±，

∵k＞0，

∴k=．

∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．

Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，

将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=-1（舍去），

故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．

综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．

考点：二次函数综合题；一次函数的图象与性质；直线与圆的位置关系．

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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