Question

3．如图，在△ABC中，点D为AC的中点，过点D作AC的垂线，交BC于点E，连接BD、AE交于点F，且BD=AB，若DF=5，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，则AF=3$\sqrt{5}$或5$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如图作BN⊥AC于N，DH⊥BC于H，连接DM．首先证明四边形BMDE是平行四边形，设EF=FM=a，则EA=EC=4a，再证明△EBF∽△EAB，推出BE=2a，在Rt△NDH中，利用勾股定理，求出DH，BH，再利用△DHE∽△CHD，列出方程解决问题．

解答 解：如图作BN⊥AC于N，DH⊥BC于H，连接DM．

∵BA=BD，BN⊥AD，
∴AN=ND，∠BAD=∠BDA，
∴∠BAE+∠EAC=∠DBC+∠C，
∵DA=DC，ED⊥AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠BAE=∠DBC，
∵BN⊥AC，ED⊥AC，
∴NM∥DE，
∴AM=EM，
∵DM∥BE，BM∥DE，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴EF=FM，BF=DF=5，设EF=FM=a，则EA=EC=4a，
∵∠BEF=∠BEA，∠EBF=∠BAE，
∴△EBF∽△EAB，
∴$\frac{EB}{EA}$=$\frac{EF}{EB}$，
∴BE²-=-EF•EA=4a²，
∴BE=2a，
∵tan∠BAE=tan∠DBH=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{1}{2}$，设DH=b，BH=2b，
∴5b²=100，
∴b=2$\sqrt{5}$，BH=4$\sqrt{5}$，
∵∠DEH=∠CDH，∠DHE=∠DHC=90°，
∴△DHE∽△CHD，
∴$\frac{DH}{CH}$=$\frac{EH}{DH}$，
∴DH²=EH•HC，
∴（2$\sqrt{5}$）²=（4$\sqrt{5}$-2a）（4a-4$\sqrt{5}$+2a），
解得a=$\sqrt{5}$或$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴AF=3a=3$\sqrt{5}$或5$\sqrt{5}$．
故答案为3$\sqrt{5}$或5$\sqrt{5}$．

点评 本题考查解直角三角形、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．