Question

7．如图，点E是平行四边形ABCD的边AB上的任意一点（不包含端点A，B），分别连接AC，CE，以CE为边作菱形ECFG，再连接BG，已知AB=AC，∠CEG=∠CAB，则下列结论①EG⊥BC，②∠EGB=∠F，③∠CBG=∠CAB，④∠GEB=∠ACE中，一定成立的有②③④（填序号）．

Answer 1

分析 根据已知条件可以分别证明②③④正确，①可以假设结论成立，推出矛盾即可解决问题．

解答 解：如图，连接CG．
∵四边形ECFG是菱形，
∴EC=EG，EG∥CF，
∴∠ECG=∠EGC，∠EGB=∠F，故②正确，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CEG=∠CAB，
∴∠CEG+2∠ECG=180°，∠BAC+2∠ACB=180°，
∴∠ACB=∠ECG，
∴∠ACE=∠BCG，
∵∠BEC=∠CAB+∠ACE，∠CEG=∠BAC，
∴∠BEG=∠ACE，故④正确，
∵∠BCG=∠ACE=∠BEG，
∴C、G、B、E四点共圆，
∴∠CBG∠CEG=∠CAB，故③正确，
∴∠ECB=∠EGB=∠CEG，
如果EG⊥BC，那么∠ECB=∠CEG=45°，这显然不可能，故①错误．
∴②③④正确．
故答案为②③④．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的性质、三角形的外角的性质、四点共圆等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质，题目比较难，属于中考常考题型．