Question

【题目】如图1，抛物线与y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且AD＝CA，连接CD．

（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当△PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；

（2）将过点D的直线绕点D旋转，设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出CM的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）CM的长为或或．

【解析】

（1）设点P坐标，表示出△PCD的面积，列出二次函数关系式，求出△PCD面积最大时的点P坐标，作PG⊥CD，PG即为PQ+CQ；
（2）等腰三角形分类讨论，分别以C、N和M为等腰顶点分别讨论，求出此时的点M坐标，获得CM线段长．

解：（1）当y＝0时，，

解得：x1＝﹣3，x2＝4，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

∵x＝0时，y＝4，

∴C （0，4），

设OD＝m，则AD＝m+3，

在Rt△AOC中，有AC2＝AO2+OC2，

∴（m+3）2＝32+42，

解得：m1＝2，m＝2﹣8

∴D（2，0），

如图1，设点P（m，n），

S△PCD＝S△PCO+S△POD﹣S△COD

＝

=

=

＝；

∵a＝﹣＜0，则面积有最大值，

∴m＝时，有最大值，

∴P（，）；

如图2，过点D作DH⊥CB，△DHB为等腰直角三角形，则DB＝2，

∴DH＝BH＝，

∵BC＝，

∴CH＝，

∴tan∠DCH＝.

过点P作PG⊥CD交BC于Q，则PG＝PQ+CQ，

∴CD直线解析式为：y＝﹣2x+4；

设G（m，﹣2m+4），

作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分别为M、N，可知△CMG∽△PGN，

∴，

∴，

解得：，

∵△CDO∽△GPN，

∴，

∴GP＝，

∴PQ+CQ的最小值为；

（2）如图3，过点M1作M1H⊥AB，

设直线L解析式为y＝kx+b，

将（2，0）代入得：b＝﹣2k，

∴y＝kx﹣2k

①当CM1＝CN1

∴ON1＝﹣2k，CN1＝4+2k，AM1＝1﹣2k

∵△AM1H∽△AOC

∴，

∴，

∴AH＝（1﹣2k），M1H＝，

∴M1（，），

代入y＝kx﹣2k得

＝k（）﹣2k

解得k1＝﹣2，k2＝，

∴CM＝4+2k＝；

②当CN2＝MN2时，如图4

过A作AP∥BD，设AP直线解析式为y＝kx+b，

将点A代入，﹣3k+b＝0，

∴b＝3k，

∴AP＝＝，

∴CO＝+3k＝4

∴k＝，

∴DM直线解析式为：，

联立，解得

∴CM＝；

③当M3C＝M3N3时，如图5：

在x正半轴上取点Q（3，0），

∴CQ解析式为，

过点D作DM3∥CQ，

∴DM3的解析式为，

联立，

解得，

∴M3（，），

∴CM3＝；

综上所述：CM的长为：或或．