Question

19．如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
（1）a＞0，b²-4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；
（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，分别求出E坐标即可．

解答 解：（1）a＞0，b²-4ac＞0；
（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），
∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax²+bx+c，
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4关于直线x=2对称，
∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，
∴E的纵坐标为-4，
∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，
则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，
∴4=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4，
解得：x₁=2+2$\sqrt{7}$，x₂=2-2$\sqrt{7}$，
∴点E′的坐标为（2+2$\sqrt{7}$，4），同理可得点E″的坐标为（2-2$\sqrt{7}$，4）．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．