Question

3．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．

Answer 1

分析 （1）证明三角形相似只要知道两个角相等即可，根据弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度关系可以知道∠FPD=DPC，即可证明．
（2）根据AE、AF与圆相切，由弦切角定理推出△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，得到对应边成比例，通过等量代换得到比例式又证得三角形相似，得到△EPD也是等腰三角形，于是得到结论．

解答 解：（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
故PD平分∠FPC；

（2））∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴$\frac{PF}{FD}=\frac{PD}{DC}$，
∴$\frac{EP}{DE}=\frac{AP}{AE}=\frac{AP}{AF}=\frac{FP}{DF}$，
∴$\frac{EP}{DE}=\frac{PD}{DC}$．                       
∵∠EPD=∠EDC，
∴△EPD∽△EDC，
∴△EPD也是等腰三角形，
∴∠PED=∠EPD=∠EDC，
∴PE∥BC．

点评 本题主要考查三角形相切的性质，结合角度关系来求．注意线段之间的转化，特别是证明三角形相似是个难点．