Question

16．已知：如图，在?ABCD中，点E、F在BD上，且∠AEB=∠CFD．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当四边形AECF是菱形时，四边形ABCD应满足什么条件？（不需要说明理由）

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠CDF，由AAS证明证得△ABE≌△CDF，继而证得结论；
（2）由菱形的判定定理容易得出结论．

解答 （1）证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．OA=OC，OB=OD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴BE=DF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：当四边形AECF是菱形时，四边形ABCD应满足AC⊥BD；理由如下：
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题难度不大，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．