Question

4．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=p，BC=q，且p、q是关于x的方程x²-mx+3m=0的两个实数根，若|p+2q|=$\frac{1}{3}$pq+6，试在△ABC内找一点P，使P到A、B、C三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由．

Answer 1

分析 首先利用根与系数关系求出AB、BC．如图，当∠APC=∠APB=∠CPB=120°时，PA+PB+PC最小．理由：以PB为边在PB上方作等边三角形△PBE，将△ABP绕点B旋转到△BED，则PA+PB+PC=DE+PE+PC，再证明D、E、P、C共线，根据两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值=CD，只要证明△DBC是直角三角形即可解决问题．

解答 解：由题意，P+q=m，pq=3m，p＞0，q＞0，
∵|p+2q|=$\frac{1}{3}$pq+6，
∴m+q=m+6，
∴q=6，把q=6代入方程x²-mx+3m=0得m=12，
∴方程x²-12x+36=0解得x=6，
∴AB=BC=6，
如图，当∠APC=∠APB=∠CPB=120°时，PA+PB+PC最小．

理由：以PB为边在PB上方作等边三角形△PBE，将△ABP绕点B旋转到△BED，
则PA+PB+PC=DE+PE+PC，
∵∠BPE=∠BEP=60°，∠BED=∠BPC=120°，
∴∠BPC+∠BPE=180°，∠BED+∠BEP=180°，
∴D、E、P、C共线，
根据两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值=CD，
∵∠ABC=30°，
根据对称性，∠ABP=∠CBP=∠DBE=15°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△BDC中，∵∠DBC=90°，BC=BD=6，
∴DC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴PA+PB+PC的最小值为6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、一元二次方程、根由系数关系、两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用两点之间线段最短解决问题，学会添加辅助线的方法，题目比较难，是作图问题中的压轴题．