Question

【题目】如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，连结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C’是△ABC的“蝴蝶三角形”，已知一直角边长为2的等腰直角三角形，那么它的“蝴蝶三角形”的面积为_________.

Answer 1

【答案】+1或1

【解析】

分两种情形分别画出图形求解即可．

如图1中，当△AB′C′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交B′A的延长线于D，在C′D上取一点F，使得FA＝FC，连接AF．

∵B∠B′AC′＝60°+45°＝105°，

∴∠DAC′＝75°，

∵∠D＝90°，

∴∠DC′A＝15°，

∵FA＝FC′，

∴∠FAC＝∠FC′A＝15°，

∴∠AFD＝∠FAC+∠FC′A＝30°，设AD＝x，则AF＝FC′＝2x．DF＝x，

∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，

∴AC＝AC′＝2，

在Rt△ADC′中，则有x2+（x+2x）2＝（2）2，

解得x＝﹣1（负根已经舍弃），

∴DC′＝2x+x＝+1，

∴S△AB′C′＝AB′C′D＝+1．

如图2中，当△A′BC′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交A′B的延长线于D．

由题意：∠A′BC′＝60°+90°＝150°，

∴∠C′BD＝30°，

∴C′D＝BC′＝1，

∴S△A′BC′＝BA′C′D＝1，

综上所述，满足条件的+1或1．

故答案为+1或1．