Question

【题目】菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，运动速度都是，点由向运动；点由向运动，当到达时，、两点运动停止，设时间为秒()．连接，，．

(1)当为何值时，；

(2)设的面积为，请写出与的函数关系式；

(3)当为何值时，的面积是四边形面积的？

(4)是否存在值，使得线段经过的中点？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1 （2）y= - t2+t（0＜t≤4） （3）t=15- （4）存在，t=

【解析】

（1）如图1中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得 ，由此构建方程即可解决问题；
（2）如图2中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根据y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，计算即可解决问题；
（3）由△APQ的面积是四边形AQPD面积的，推出S△APQ=2S△APD，由此构建方程即可解决问题；
（4）如图4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC= ，可得 ，由此构建方程即可解决问题；

（1）如图1中，作CH⊥AB于H交BD于M．

∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm

∴OA=AC=3cm，OB=BD=4cm，AC⊥BD

在直角三角形AOB中，

AB=cm

S菱形ABCD=cm2

∴CH=，AH=cm，
∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，
∴△COM∽△CHA，
∴ ，
∴ ，
∴OM=cm ，
∵PQ⊥AB，CH⊥AB，∴PQ∥CM，
∴，
∴ ，
∴t=1，
∴t=1s时，PQ⊥AB．
（2）如图2中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，
∴∠COD=90°，
∴CD=cm

∵ACOD=CDAM，
∴AM=cm

∵OQ=CP=t，
∴DQ=4+t．PD=5-t．
∵PH∥OC，
∴ ，
∴

∴PH=（5-t），
∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP=（4+t）3+（4+t）（5-t）-（5-t） =- t2+t（0＜t≤4）．
（3）如图3中，

∵△APQ的面积是四边形AQPD面积的 ，
∴S△APQ=2S△APD，
∴ t2+t=2（5-t），
解得t=15- 或15+（舍弃），
∴t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的 ．
（4）存在，如图4中，作PH⊥AC于H．

∵OQ∥PH，ON=NC=，
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
∴t=时，PQ经过线段OC的中点N．