Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE、EF。

（1）求证：AF是∠BAC的平分线； 　　
（2）试确定是否存在∠ABD的一个取值，使AB与EF平行？若存在，指出其取值并说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：连接BE；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°
∵CD且圆于E，
∴∠AEC=∠ABE，
又AC⊥CD
∴∠CAE=∠BAE
即AE是∠BAC的平分线。
（2）当∠ABD=60°时，AB∥EF
∵ ∠FDE=∠AEB=90°，且∠BED=∠BAE
∴∠ABE=∠EBF
又∵∠FED=∠EBF
∴ ∠FED=
若∠ABD=∠EFD，则AB∥EF
即∠FED=时，且∠FED+∠EFD=90°
∴ 解得∠EFD=∠ABD=60°。