直线AB:y=-x-b分别与x.y轴交于A(6.0).B两点.过点B的直线交x轴负半轴于C.且OB:OC=3:1．(1)求直线BC的解析式,交AB于E.交BC于点F.交x轴于D.是否存在这样的直线EF.使得S△EBD=S△FBD?若存在.求出k的值,若不存在.说明理由,(3)如图.P为A点右侧x轴上一动点.以P为直角顶点.BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=2x-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标，如果变化，请说明理由．

分析：（1）设BC的解析式是Y=ax+c，有直线AB：y=-x-b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，有题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，联立直线AB：y=-x-b和y=2x-k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；
（3）不变化，过Q作QH⊥x轴于H，首先证明△BOP≌△HPQ，再分别证明△AHQ和△AOK为等腰直角三角形，问题得解．

解答：解：（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
OC=

=2，
∴C（-2，0），
设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0•a+c

0=-2a+c

，
解得：

a=3

c=6

，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6；

（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
联立得

y=2x-k

y=-x+6

，解得yE=-

k+4，
联立

y=2x-k

y=3x+6

，解得yF=-3k-12，
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴3k+12=-

k+4，
∴k=-2.4；
当k=-2.4时存在直线EF：y=2x-2.4，使得S_△EBD=S_△FBD；

（3）K点的位置不发生变化，K（0，-6）．
过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，