Question

将?ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处（如图）．
（1）求证：△ABE≌△AGF．
（2）连接AC，若?ABCD的面积等于16，

EC

BC

=x，AC•EF=y，试求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB=CD，∠BAC=∠BCD，根据折叠的性质，可得AG=CD，∠EAG=∠BCD，所以AB=AG，∠BAD=∠EAG，由等量代换可得∠BAE=∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA=∠EAF=∠GFA，所以△ABE≌△AGF（AAS）；
（2）由已知可证得四边形AECF是菱形，根据菱形的面积求解方法（对角线积的一半），可求得y=32x．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，
又根据题意得：AG=CD，∠EAG=∠BCD，
∴AB=AG，∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠GAF，（1分）
又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，
∴∠BEA=∠EAF=∠GFA，
∴△ABE≌△AGF（AAS）；

（2）解：连接CF，
由（1）得：EC=AE=AF，而AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴?AECF是菱形，
∴y=AC•EF=2×菱形AECF的面积，
又∵?ABCD的面积等于16，
∴S_△ABC=8，
∵

EC

BC

=x，

S△AEC

S△ABC

=

EC

BC

，
∴△AEC的面积等于8x，
∴菱形AECF的面积等于16x，
∴y=32x．
说明：不必写出x的取值范围，解法不同时请参考给分．

点评：此题是折叠问题，是中考中的常见题目．解此题首先要注意折叠前后的部分全等，即对应角与对应边都相等．解此题还要注意平行四边形的性质与菱形的面积的求解方法．