Question

7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+2与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为B，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y=-x+2交于点C；抛物线y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）的顶点坐标为D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若点E（2，-2）在抛物线y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）上，求n的值；
（3）若抛物线y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标，再讲二次函数配方可得顶点D的坐标；
（2）将点E坐标代入，解方程即可得；
（3）根据题意知当x=0时y＞-2，当x=4时y≤-2，列不等式组求解可得．

解答 解：（1）y=-x+2中当x=0时，y=2，
∴点A（0，2），
∵点A关于x轴的对称点为B，
∴点B（0，-2），
∵点B垂直于y轴的直线l与直线y=-x+2交于点C，
∴当y=-2时，-x+2=-2，
解得：x=4，
即点C（4，-2）；
∵y=nx²-2nx+n+2=n（x-1）²+2，
∴顶点D的坐标为（1，2）；

（2）将点E（2，-2）代入y=nx²-2nx+n+2，得：-2=4n-4n+n+2，
解得：n=-4；

（3）根据题意知当x=0时y＞-2，当x=4时y≤-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{n+2＞-2}\\{16n-8n+n+2≤-2}\end{array}\right.$，
解得：-4＜n≤-$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，根据题意得出关于n的不等式组是解题的关键．