Question

19．已知AB为⊙O的直径，CA、CD分别于⊙O相切于A、D两点．
（1）如图1，若AC=4，AB=6，求tan∠B的值；
（2）如图2，若cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，求tan∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，AD，根据切线性质得出CA=CD，OC平分∠ACD，推出AD⊥OC，根据圆周角定理得出AD⊥BD，根据平行线的判定得出OC∥BD，根据平行线的性质∠AOC=∠B，在RT△AOC中，tan∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{4}{3}$，从而求得tan∠B的值；
（2）连接OC，作OE⊥BC于E，先求得∠OCE=∠CBD，根据已知cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，设AC=3a，BC=5a，则直径AB=4a，OA=OB=2a，根据△OEB∽△CAB，得出$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{OB}{BC}$，即$\frac{OE}{3a}$=$\frac{BE}{4a}$=$\frac{2}{5}$，从而求得OE=$\frac{6}{5}$a，BE=$\frac{8}{5}$a，CE=BC-BE=$\frac{17}{5}$a，即可求得tan∠CBD的值．

解答 （1）证明：连接OC，AD，
∵CA、CD分别切⊙O于A、D两点，
∴CA=CD，OC平分∠ACD，
∴AD⊥OC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∴OC∥BD，
∴∠AOC=∠B，
∵CA、CD分别于⊙O相切于A、D两点，
∴OA⊥AC，
在RT△AOC中，tan∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠B=$\frac{4}{3}$．
（2）解：连接OC，作OE⊥BC于E，
由（1）证明可知OC∥BD，
∴∠OCE=∠CBD，
∵cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
设AC=3a，BC=5a，则直径AB=4a，
∴OA=OB=2a，
∵OE⊥BC，AB⊥AC，
∴∠BAC=∠OEB=90°，∠ABC=∠EBO，
∴△OEB∽△CAB，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{OB}{BC}$，即$\frac{OE}{3a}$=$\frac{BE}{4a}$=$\frac{2}{5}$，
∴OE=$\frac{6}{5}$a，BE=$\frac{8}{5}$a，
∴CE=BC-BE=$\frac{17}{5}$a，
∴tan∠CBD=tan∠OCE=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{6}{17}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，连接OC，得出平行线是解题的关键．