Question

10．已知关于x的一元二次方程x²+mx+n+1=0的一根为2．
（1）用m的代数式表示n；
（2）求证：关于y的一元二次方程y²+my+n=0总有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）把x=2，代入原方程就可求出m、n的关系式；
（2）利用根的判别式△=b²-4ac，可求具体数值，利用数值来说明方程总有两个不相等的实数根．

解答 解：（1）把x=2，代入方程x²+mx+n+1=0得
4+2m+n+1=0，
则n=-2m-5；
（2）∵△=b²-4ac=m²-4×1×n=m²-4（-2m-5）=m²+8m+20=（m+4）²+4＞0，
∴关于y的一元二次方程y²+my+n=0总有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义．