Question

【题目】如图，在中，，，为中点，点在延长线上，，，，交于点．

（1）若，求的度数；

（2）求证：；

（3）设交于点．

①若，，求的值；

②连结，分别记，，的面积为，，，当时， ．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①；②．

【解析】

（1）根据∠AOB=∠OBC+∠OCB，只要求出∠OBC，∠OCB即可．

（2）想办法证明CG⊥AE即可解决问题．

（3）①如图2中，作MH⊥CE于H，解直角三角形求出AG，GM，ME即可解决问题．

②如图3所示：连接DE．首先证明四边形OCED是平行四边形，再证明EC=2DG，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

解：（1）∵，，

∴，．

∵，

∴．

∵，为中点，

∴．

∴．

∴．即．

∴．

（2）连结（如图1）．

∵，，

∴．

∵，

∴四边形为矩形．

∴．

∵，

∴．

（3）①作于（如图2）．

由，，

则四边形是平行四边形，

∴．

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

②如图3所示：连接DE．

∵OA=OC，∠ABC=90°，

∴BO=OA=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵AE∥BC，

∴∠CAE=∠ACB，∠AGO=∠OBC，

∵CA=CE，

∴∠CAE=∠CAE，

∴∠AGB=∠AEC，

∴AD∥CE，

∵DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∴OD=CE=CA，

∵∠OAG=∠OGA，

∴OA=OG，

∴OA=OC=OG=DG，

∵DG∥EC，

∴，

∴，

设S2=m，则S3=2m，

∴S△DGE=3m，

∵OG=GD，∠AGO=∠DGE，∠OAG=∠DEG，

∴△AGO≌△EGD（AAS），

∴S△AOG=S△DEG=3m，

∵OB=OG，

∴S△ABG=2S△AOG=6m，

∴S1：S2：S3=6m：m：2m=6：1：2．

故答案为：6：1：2．