Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k≠0）满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y=-x+$\sqrt{3}$k都经过点P，且|OP|=4$\sqrt{2}$，则实数k的值为4．

Answer 1

分析 根据反比例函数的性质求得k的范围，根据点在反比例函数图象上，设P的横坐标是m，则纵坐标是$\frac{2k}{m}$．然后根据点P在直线上以及OP=4$\sqrt{2}$即可列方程组，求得k的值．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k≠0）满足：当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴2k＞0，则k＞0．
设P的横坐标是m，则纵坐标是$\frac{2k}{m}$．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k}{m}=-m+\sqrt{3}k…①}\\{{m}^{2}+（\frac{2k}{m}）^{2}=32…②}\end{array}\right.$．
由①得m+$\frac{2k}{m}$=$\sqrt{3}$k．
则（m+$\frac{2k}{m}$）²=3k²，即m²+（$\frac{2k}{m}$）²+4k=3k²-4k…③．
把③代入②得3k²-4k=32，
解得：k=4或-8（舍去）．
故答案是：4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的图象的交点，正确列出方程组，利用完全平方公式化成关于k的方程是关键．