Question

12．如图，⊙O中，PC切⊙O于点C，连PO交于⊙O点A、B，点F是⊙O上一点，连PF，CD⊥AB于点D，AD=2，CD=4，则PF：DF的值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． 5：3
• D． 4：3

Answer 1

分析 连接AC、OC、OF、BC．由△ADC∽△CDB，推出$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，求出DB、OA、OD，由△ODC∽△OCP，推出$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，推出OC²=OD•OP，推出OF²=OD•OP，即$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，由∠DOF=∠POF，推出△DOF∽△FOP，可得$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：连接AC、OC、OF、BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{DB}$，
∴DB=8，OA=OB=5，OD=3，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∵∠DOC=∠POC，∠ODC=∠OCP，
∴△ODC∽△OCP，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴OC²=OD•OP，
∴OF²=OD•OP，
∴$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，∵∠DOF=∠POF，
∴△DOF∽△FOP，
∴$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$，
故选C．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．