Question

在直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），点P（x，y）在第一象限内，且x+2y=4，设△AOP的面积是S． 
（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）当S=3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数的性质

专题：

分析：（1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边OA与高线BC的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式；
（2）将S=3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．

解答：解：∵x+2y=4，
∴y=

1

2

（4-x），
∴S=

1

2

×4×

1

2

（4-x）=4-x，即S=4-x．
∵点P（x，y）在第一象限内，且x+2y=4，
∴

x＞0 1 2 (4-x)＞0

，
解得0＜x＜4；

（2）当S=3时，4-x=3，
解得x=1，
此时y=

1

2

（4-1）=

3

2

，
故点P的坐标为（1，

3

2

）；

（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．

点评：本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，难度适中．