Question

大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：
，
，
，
将这三个等式的两边相加，可以得到．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=________；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=________．

Answer 1

    
分析：观察已知的三个等式，得出一般性的规律，根据得出的规律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一项，抵消合并后即可得到结果；依此类推得到1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4），
总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．
解答：根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+…+[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=n（n+1）（n+2）；
依此类推：1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：n（n+1）（n+2）；n（n+1）（n+2）（n+3）
点评：此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．