Question

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=

 

．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

 

．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

 

．
（只需写出结果，不必写中间的过程）

Answer 1

分析：此类题根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式

1

3

，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算．

解答：解：∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=

1

3

×100×（100+1）×（100+2）=

1

3

×100×101×102；
（2）原式=

1

3

n（n+1）（n+2）；
（3）原式=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评：能从材料中获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本能力．
要注意：连续的整数相乘的进一步变形，即n（n+1）=

1

3

[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．