Question

阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=

1

2

n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式的两边相加，可以得到：
1×2+2×3+3×4=

1

3

(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）
=

1

3

×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+7×8=

168

；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

；
（3）若1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，求n边形的内角和度数．

Answer 1

分析：（1）根据已知可以得出，1×2+2×3+…+7×8等于

1

3

×7×8×9，即每一项增加1，即可得出答案；
（2）根据前面的规律可得它们的和是n（n+1）（n+2）乘积的

1

3

；
（3）根据1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，可得关于n的方程，再根据n边形的内角和公式即可求解．

解答：解：（1）1×2+2×3+…+7×8=

1

3

×7×8×9=168；

（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）∵1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

×9×10×11，
∴n=9，
∴n边形的内角和度数为：（9-2）×180°=1260°．
故答案为：168；

1

3

n（n+1）（n+2）．

点评：此题主要考查了数字的规律性问题，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点．