Question

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式1×2=

1

3

(1×2×3-0×1×2)，2×3=

1

3

(2×3×4-1×2×3)，3×4=

1

3

(3×4×5-2×3×4)
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）5×6=

 

=

 

将前面两个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3=

1

3

×2×3×4=8
将这三个等式的两边相加，可以得到
1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（2）1×2+2×3+…+100×101=

 

=

 

（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=

 

=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据已知可以得出，1×2+2×3+3×4+4×5等于

1

3

×4×5×6，即每一项增加1，即可得出答案；
（2）根据（1）中结论即可得出规律是后三项加1的乘积；
（3）即可得出一般性规律，1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．

解答：解：（1）原式=

1

3

（5×6×7-4×5×6）=30，
（2）原式=

1

3

×100×101×102=343400；
（3）原式=

1

3

n（n+1）（n+2）=

1

3

n³+n²+

2n

3

．
故答案为

1

3

（5×6×7-4×5×6），30；

1

3

×100×101×102，343400； 

1

3

n（n+1）（n+2），

1

3

n³+n²+

2n

3

．

点评：此题主要考查了数字的规律性问题，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出变化规律是难点中的难点．