题目内容

二次函数y= $数学公式$ x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函数y= $数学公式$ x²第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都为等边三角形，请计算△A₀B₁A₁的边长=；△A₁B₂A₂的边长=；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长=．

1 2 2008
分析：先计算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长．
解答：

解：作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°= $\text{[math]}$ a，代入解析式得 $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ a）²=a，解得a=0（舍去）或a= $\text{[math]}$ ，于是等边△A₀B₁A₁的边长为 $\text{[math]}$ ×2=1；
②等边△A₂B₂A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°= $\text{[math]}$ b，B₂点坐标为（ $\text{[math]}$ b，1+b）代入解析式得 $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ b）²=1+b，
解得b=- $\text{[math]}$ （舍去）或b=1，
于是等边△A₂B₁A₁的边长为1×2=2；
③等边△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°= $\text{[math]}$ c，B₃点坐标为（ $\text{[math]}$ c，3+c）代入解析式得 $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c= $\text{[math]}$ ，
于是等边△A₃B₃A₂的边长为 $\text{[math]}$ ×2=3．
于是△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长为2008．
点评：此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．