Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x²的图象记为抛物线b₁．
（1）平移抛物线b₁，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B．写出平移后的一个抛物线的函数关系式：

 

 （任写一个即可）；
（2）平移抛物线b₁，使平移后的抛物线经过A，B两点，记为抛物线b₂，如图2．求抛物线b₂的函数关系式；
（3）设抛物线b₂的顶点为C，k为y轴上一点．若S_△ABK=S_△ABC，如图3，求点K的坐标．

Answer 1

分析：（1）可将抛物线b₁向上平移，设平移后的抛物线的函数关系式：y=x²+b，由点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（2）根据题意可设抛物线b₂的函数关系式为y=x²+bx+c，由点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（3）首先根据题意求得点C的坐标，即可求得△ABC的面积，然后分别从点K在A的上方与下方去分析求解，即可求得点K的坐标．

解答：解：（1）向上平移抛物线b₁，使平移后的抛物线经过点A，
设平移后的抛物线的函数关系式：y=x²+b，
∵点A的坐标为（1，2），
∴2=1+b，
解得：b=1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x²+1；
∵点B的坐标为（3，1），
∴3²+1≠1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x²+1；
故答案为：y=x²+1．

（2）设∵抛物线b₂经过A，B两点，
∴

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得：

b=- 9 2 c= 11 2

，
∴抛物线b₂的函数关系式为：y=x²-

9

2

x+

11

2

；

（3）∵y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
∴点C的坐标为（

9

4

，

7

16

），
过点C作CG⊥y轴，BF⊥y轴，AE⊥y轴，
∴AE=1，BF=3，CG=

9

4

，EF=2-1=1，FG=1-

7

16

=

9

16

，EG=2-

7

16

=

25

16

，
∴S_△ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCGF-S_梯形ACGE=

1

2

（AE+BF）•EF+

1

2

（CG+BF）•GF-

1

2

（AE+CG）•EG=

15

16

，
若K在A点上方，坐标为（0，y）
S_△ABK=S_△BNK-S_△AMK-S_梯形ABNM=

1

2

BN•NK-

1

2

AM•MK-

1

2

（AM+BN）•MN=

1

2

×3×（y-1）-

1

2

×1×（y-2）-

1

2

×（1+3）×1=

2y-5

2

，
∵S_△ABK=S_△ABC，
∴

2y-5

2

=

15

16

，
解得：y=

55

16

，
则点K（0，

55

16

）；
同理：若K在A的下方时，则点K（0，

25

16

）；
∴点K的坐标为（0，

55

16

）或（0，

25

16

）．

点评：此题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数的解析式，以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．